Introduction aux nombres complexes

Les nombres complexes sont des nombres sous la forme $a+bi$ .

Ces nombres sont largement utilisés pour trouver des solutions rapides dans des domaines comme Electricité, navigation, etc…

Sous cette forme, $a$ et $b$ sont des réels. L’unité $i$ est l’unité imaginaire. On notera que $i^2=-1$ .

Si nous prenons $z=a+bi$ , $a$ est la partie réelle et la partie $bi$ est la partie imaginaire.

Nous voyons que:

$a=\Re(z)$ and $b=\Im(z)$

Autour du 16ème siècle, le besoin de trouver la solution de $x^2=-1$ est devenu évident.

Pour représenter l’image d’un nombre complexe dans le plan complexe, la partie réelle est projetée sur l’axe des $x$ pendant que la partie imaginaire sera projetée sur l’axe des $y$
Les règles concernant les quadrants restent les mêmes.

Un imaginaire pur est de la forme $bi$ avec $b$ un nombre réel.

$i=\sqrt{-1}$

Quand un nombre complexe a deux composantes, on le représente sur le plan des complexes. C’est le ‘Diagramme d’Argand’.

Un point $(a,b)$ sera représenté par le complexe $a+bi$ .

Nous appelons l’axe des $x$ , l’axe des $réels$ et l’axe des $y$ , l’axe des $imaginaires$ .

Un point $z=a+bi$ peut se représenter par un vecteur aussi. Pour ajouter $z$ à un nombre complexe, on effectue une simple translation par vecteur $\vec(a,b)$

$z_2 \rightarrow z+z_1$ est une translation de $a$ unités vers la droite et $b$ unités en haut dans le plan des complexes.

Egalité de nombres complexes

Pour que deux nombres complexes:

$a+bi=c+di$

Les conditions suivantes devront être remplies:

$a=c$ and $b=d$

Exemple1:

$x+3i=5+yi$ signifie que:

$x=5$ et $y=3$

Exemple2:

Trouver $x$ et $y$ , les nombres réels dans l’équation suivante:

$(x-3)+2i=8+yi$

Nous avons:

$x-3=8$ , partie réelle

$x-3+3=8+3$

$x=11$

$y=2$ , partie imaginaire

Finalement:

Réponse: $x=11$ et $y=2$

Addition et soustraction de nombres complexes

Pour trouver la somme ou la différence de deux nombres complexes, on ajoute ou on soustrait les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

$z_1=2-3i$

$z_2=3+4i$

$z_1+z_2=(2-3i)+(3+4i)=(2+3)+(-3+4)i=5+i$

Produit de nombres complexes

Si $z_1=a+bi$ et $z_2=c+di$

$z_1z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}$

$z_1z_2=ac+(ad+bc)i-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Exemple:

$(1+2i)(3-4i)=3-8i^{2}+(6-4)i=(3+8)+(6-4)i=11+2i$

Complexes Conjugués

Si $z=a+bi$ est un complexe, son conjugué se note $\overline{z}=a-bi$

Voir la figure suivante:

On peut aussi noter que:
$\overline{a+bi}=a-bi$

Si nous prenons l’équation quadratique avec $b^2-4ac<0$ , avec 2 racines complexes, on peut voir que ces deux racines constituent deux nombres complexes conjugués