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Un échantillon des types d’exercices que nous entendons résoudre, pour montrer comment des simples problèmes peuvent paraître difficiles.

Problème 1: Résoudre en $x$

$2^{x} \cdot 6^{x-2}=5^{2x}\cdot 7^{1-x}$

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: $2^{x}\cdot 6^{x-2}=5^{2x}\cdot 7^{1-x}$ “]

$2^{x}\cdot 6^{x-2}=5^{2x}\cdot 7^{1-x}$
$x\ln 2+ (x-2)\ln 6=2x\ln 5+ (1-x)\ln 7$
$x \ln 2+ x\ln 6- 2\ln 6= x(2\ln 5)+\ln 7-x\ln7$
$x\left(\ln 2+\ln 6- 2\ln 5+ \ln 7 \right)=2\ln 6+ \ln 7$

En isolant $x$ :

$x=\frac{\ln 36+ \ln 7}{\ln 2+ \ln 6- \ln 25 + \ln 7}$

$x= \frac{\ln (36\times 7)}{\ln (\frac{2\times 6 \times 7}{25})}$

$x=\frac{\ln 252}{\ln (\frac{84}{25})}$

Finalement:

Réponse: $\log_{\frac{84}{25}} 252$

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Problème 2: On pose

$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}$

Trouver $(x-1)^{10}$

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: $(x-1)^{10}$ “]

$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}$

Trouvons $x-1$

$x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}-1$

$x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+3+\sqrt{15}+\sqrt{18}-(\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2}))}{\sqrt{5}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})}$

$x-1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}$

En simplifiant:

Nous avons:

$x-1=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}$

$x-1=\frac{\sqrt{3}( \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}$

Simplifions:

$x-1=\frac{\sqrt{3}( \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2})}$

Nous avons:

$x-1=\sqrt{3}$

$(x-1)^{10}=(\sqrt{3})^{10}$

$(x-1)^{10}=((\sqrt{3})^{2})^{5}$

Finalement:

$(x-1)^{10}=3^{5}$

$(x-1)^{10}=243$

Réponse: $(x-1)^{10}=243$

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Problème 3: Résoudre en $x$

$x^{3}-4x^{2}-3x+12=0$

Solution

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${x}^{3}-4x^{2}-3x+12=0$

Nous voyons les facteurs

${x}^{3}-4x^{2}-3x+12=x^{2}(x-4)-3(x-4)=(x^{2}-3)(x-4)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-4)$

On peut dire:

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-4)=0$

Chaque facteur peut s’ennuler.

$(x-\sqrt{3})=0 \Rightarrow x_{1}=\sqrt{3}$

$(x+\sqrt{3})=0 \Rightarrow x_{2}=-\sqrt{3}$

$(x-4)=0 \Rightarrow x_{3}=4$

Racines: $\{-\sqrt{3}\; , \sqrt{3}\; and\; 4\}$

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Problème 4: Résoudre en $x$

$15x^{3}+38x^{2}+17x+2=0$

Solution

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$15x^{3}+38x^{2}+17x+2=0$

En examinant les facteurs et ratios de 2 et 15 nous voyons que -2est une solution.

On divise::

$\frac{15x^{3}+38x^{2}+17x+2}{x+2}=15x^{2}+8x+1$

Onpeut maintenant trouver les racines de l’équation du second degré:

$15x^{2}+8x+1=0$

$\Delta=64-60=4$

$\sqrt{\Delta}=2$

$x_{2}=\frac{-8+2}{2\times 15}=-\frac{1}{5}$

$x_{3}=\frac{-8-2}{2\times 15}=-\frac{1}{3}$

Method Générale sans les facteurs de 2 et 15:

Nous avons:

p=-1.005925926

q=0.380620027

$\Delta=-0.001481481$

Cas:

$\Delta<0$

$\cos 3\theta=-0.9801544601$

$\frac{\theta}{3}=0.9806784972$

Nous obtenons les mêmes valeurs de $x$ .

Racines: $\{-2\; ,-\frac{1}{5}\; and \; -\frac{1}{3}\}$

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Problème 5: Résoudre en $x$

$18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2=0$

Solution

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$18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2=0$

Par inspection des faceurs de $-2$ et de $18$ et leur rapports, nous voyons que $-2$ et $\frac{1}{2}$ sont des rcaines de l’équation.

En les facorisant nous avons:

$(x+2)(x-\frac{1}{2})=\frac{2x^{2}+3x-2}{2}$

$\frac{18x^{4}+15x^{3}-34x^{2}+15x-2}{2x^{2}+3x-2}=9x^{2}-6x+1$

Résolvons: $9x^{2}-6x+1=0$

Racine double comme $\Delta=0$

$x_{3}=x_{4}=\frac{1}{3}$

Racines: $\{-2\; ,\frac{1}{3}\; , \frac{1}{3}\; and \; \frac{1}{2}\}$

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Problème 6: Résoudre en $x$

$6x^{3}-29x^{2}-45x+18=0$

Solution

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$6x^{3}-29x^{2}-45x+18=0$

Nous voyons que 6 est une racinet:

$\frac{6x^{3}-29x^{2}-45x+18}{x-6}=6x^{2}+7x-3$

En factorisant:

$6x^{2}+7x-3=6x^{2}+9x-2x-3=3x(2x+3)-1(2x+3)=(3x-1)(2x+3)$

Nous obtenons:

$6x^{3}-29x^{2}-45x+18=(x-6)(3x-1)(2x+3)$

Tous les facteurs peuvent s’ennuler:

$x-6=0 \Rightarrow x_{1}=6$

$3x-1=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{1}{3}$

$2x+3=0 \Rightarrow x_{3}=-\frac{3}{2}$

Finalement:

Racines: $\{-\frac{3}{2}\; ,\frac{1}{3}\; , \frac{1}{3}\; and \; 6\}$

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Problème 7: Résoudre en $x$

$3x^{3}+3x^{2}-4x+4=0$

Solution

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$3x^{3}+3x^{2}-4x+4=0$

Nous voyons que $-2$ est une racine.

En divisant nous obtenons:

$\frac{3x^{3}+3x^{2}-4x+4}{x+2}=3x^{2}-3x+2$

La solution donne des racines complexes:

$x_{2}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{15}}{6}$

$x_{3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{15}}{6}$

Vérification avec la méthode générale:

$p=-1.666666667$

$q=1.851851852$

$\Delta=0.6858710562$

$\sin \theta=0.4472135955$

$\frac{\theta}{2}=0.2318238045$

$\tan \phi=0.6180339887$

$2\phi=1.107148718$

Les racines sont les mêmes.

Racines: $\{-2\; ,\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{15}}{6}\; and \; \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{15}}{6}\}$

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