Théorie des Limites

Notion de limite:

Un nombre $L$ est la $limite$ de $F(x)$ quand $x$ tend vers $a$ , si le nombre $F(x)$ peut s’approcher infiniment de $L$ en choisissant $x$ suffisamment proche ou égal à $a$ .

Dans ce cas nous aurons $F(x)$ qui se rapproche infiniment de $L$ quand $x$ se rapproche infiniment de $a$ .

Beaucoup de personnes font l’erreur en pensant que $x=a$ . C’est une erreur quand il s’agit de la définition de la limite.

Le nombre $L$ est la $limite$ de $F(x)$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout nombre $\varepsilon>0$ ,il existe un autre nombre $\delta>0$ tel que:

$|F(x)-L|<\varepsilon$

Pour tout $x$ tel que:

$0<|x-a|<\delta$

Exemple:

Evaluer

$\lim_{x\to 2}x^{3}$

Si on remplit la table des valeurs de $x$ en se rapprochant de plus en plus de 2, de la gauche et de la droite, nous voyons que $x^{3}$ tend vers $8$

C’est toujours bien de voir les valeurs proches de $x$ pour tirer une conclusion sur la valeur de la limite.

Voyons quelques lois des limites:

Lois des limites

Limite d’une constante C:

$\lim_{x\to a}C=C$

Addition, produit et division:

Soit:

$\lim_{x\to a}F(x)=L$

$\lim_{x\to a}G(x)=K$

Nous pouvons écrire:

Addition

$\lim_{x\to a}[F(x) \pm G(x)]=L \pm K$

Produuit

$\lim_{x\to a}[F(x)G(x)]=LK$

Division

$\lim_{x\to a}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{L}{K}$

Avec $K\neq 0$

Si $n$ est un entier positif et $a>0$ Nous avons.

$\lim_{x\to a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}$

Substitution:

A supposer:

$\lim_{x \to a}g(x)=L$

$\lim_{x \to L}f(x)=f(L)$

On peut écrire:

$\lim_{x \to a}f(g(x))=f(\lim_{x \to a}g(x))=f(L)$

EXEMPLE

Montrer que:

$\lim_{x \to 5}(x^{2}-8)=17$

Solution:

En utilisant la définition ci-dessus:

Soit $\varepsilon>0$ , Nous devons trouver $\delta$ such

$0<|x-5|<\delta$ implies $|(x^{2}-8)-17|<\varepsilon$

On sait que:

$|(x^{2}-8)-17|=|x^{2}-25|=|x+5| \cdot |x-5|$

Dans notre cas, Si nous rendons $|x-5|$ infiniment petit, $|x+5|$ ne peut pas être grand.

Si $|x-5|<1$

$|x+5|=|(x-5)+10|\leq |x-5|+10<11$

Ce qui signifie que:

$0<|x-5|<\delta$ entraîne que $|(x^{2}-8)-17|<11 \cdot |x-5|$

Maintenant si $\delta$ est le minimum des deux nombres $1$ et $\frac{\varepsilon}{11}$

$0<|x-5|<\delta$ entraîne que $|(x^{2}-8)-17|<11 \cdot \frac{\varepsilon}{11}$

Ou simplement:

$0<|x-5|<\delta$ veut dire que $|(x^{2}-8)-17|<\varepsilon$

Limite gauche et limite droite:

Un exemple de limite droite est:

$f(x)=\frac{x}{|x|}$

La fonction est simplement $1$ pour $x>0$ et $-1$ si $x<0$

La limite gauche et la limite droite ne correspondent pas dans cette situation.

Comme conclusion nous disons que la limite n’existe pas.

La limite droite d’une fonction

A supposer que $f$ soit définie dans un intervalle (a,c).

L est la limite droite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ , et nous avons:

$\lim_{x \to a^{+}} f(x)=L$

Si $f(x)$ peut se rapprocher infiniment de $L$ en choisissant un point $x$ dans $(c,a)$ infiniment proche de $a$ .

La limite gauche d’une fonction

A supposer que $f$ soit définie dans l’intervalle ouvert (a,c).

L est la limite gauche de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ , et nous avons:

$\lim_{x \to a^{-}} f(x)=L$

Si $f(x)$ peut se rapprocher infiniment de $L$ en choisissant $x$ dans $(c,a)$ sufiisamment proche de $a$ .

THEOREME:

Si une fonction $f$ est définie aux alentours d’un point $a$ .

La limite de f(x) existe et est égale au nombre $L$ si et seulement si la limite gauche et la limite droite existent et sont toutes deux égales à $L$ .