Techniques d’Intégration , pages multiples

Ce chapitre va approfondir notre connaissance sur les calculs de primitives.

Dans ce chapitre nous verrons les techniques comme sustitution, integration des fonctions trigonométriques et hyporboliques, sans oublier mon favori, l’intégration par parties

Nous utilserons des videos dans certains des cas pour avoir toute la pratique de ces techniques.

Pour effectuer des calculs d’intégration il nous faut une bonne vision, un bon planning et une bonne comprehension du sujet.

1.Méthode de substitution

Nous commencerons par la méthode de substitution que nous utiliserons pour la plupart du temps.

Quand nous avons $\int f(x) \, dx$ , on remplace souvent la variable $x$ par une autre variable $t$ ou $u$ par $substitution$ .

$x=g(u)$ qui donne $dx=g'(u)du$ . Cette technique permet d’ailleurs de démontrer quelques formules vues dans le chapitre précédent.

Voyons quelques exemples.

Exemple:

Problème 3:

Evaluer $\int (2x+5)^{4} \, dx$

Soit $2x+5=u \Rightarrow 2dx=du$

On obtient la forme suivante:

(1) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{1}{2}u^{4} \, du}&={\displaystyle \frac{1}{2}\int u^{4} \, du}\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4+1}u^{4+1}\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4+1}u^{4+1}+C\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}u^{5}\\&=\frac{1}{10}u^{5}+C \end{split} \end{equation*}$

Revenant à la variable initiale:

${\displaystyle \int (2x+5)^{4} \, dx}=\frac{1}{10} (2x+5)^{5}+C$

Problème 4:

Evaluer $\int e^{-x} \, dx$

Let $-x=u \Rightarrow dx=-du$

Nous obtenons la forme suivante:

${\displaystyle -\int e^{u} \, du}=-e^{u}+C$

Revenant à la variable initiale :

${\displaystyle \int (e)^{-x} \, dx}=-e^{-x}+C$

Problème 5:

Evaluer $\int \frac{x+2}{x+1} \, dx$

Let $x+2=x+1+1$

Nous obtenons la forme suivante:

(2) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x+2}{x+1}\, dx}&={\displaystyle \int \frac{x+1+1}{x+1}\, dx}\\ &={\displaystyle \int dx+ \int \frac{dx}{x+1}}\\ &=x+ \ln \left | x+1 \right |+C \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

${\displaystyle \int \frac{x+2}{x+1}\, dx}=x+ \ln \left | x+1 \right |+C$

Problème 6:

Evaluer $\int \frac{x^{2}-6\sqrt[3]{x}}{x} \, dx$

Pas de substitution ici.

(3) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x^{2}-6\sqrt[3]{x}}{x} \, dx}&={\displaystyle \int \frac{x^{2}}{x}\, dx}-{\displaystyle 6\int \frac {\sqrt[3]{x}}{x}\, dx}\\ &= {\displaystyle \int x\, dx}-{\displaystyle 6\int \frac {x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{3}}}\, dx}\\ &={\displaystyle \int x\, dx}-{\displaystyle 6\int x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{-3}{3}}\, dx}\\ &={\displaystyle \int x\, dx}-{\displaystyle 6\int x^{\frac{-2}{3}}\, dx}\\ &={\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-6\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}}+C \\ &={\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-6\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} }+C\\ &={\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-18 x^{\frac{1}{3}}}+C \\ &={\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-18 \sqrt[3]{x} }+C \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

${\displaystyle \int \frac{x^{2}-6\sqrt[3]{x}}{x} \, dx}={\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-18 \sqrt[3]{x} }+C$

Problème 7

Evaluer: $\int \frac{2x-3}{4x^{2}-11}\, dx$

Nous savons que $\frac{d}{dx}(4x^{2}-11)=8x$
From $(2x-3)$
$2x-3=\frac{1}{4}(8x-12)$

On peut écrire

(4) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{2x-3}{4x^{2}-11}\, dx}&={\displaystyle \frac{1}{4} \int \frac{8x-12}{4x^{2}-11}\, dx}\\ &={\displaystyle \frac{1}{4} \int\frac{8x}{4x^{2}-11}\, dx -\frac{12}{4} \int\frac{dx}{4x^{2}-11}}\\ &={\displaystyle \frac{1}{4} \int\frac{8x}{4x^{2}-11}\, dx -\frac{3}{2} \int\frac{2dx}{(2x)^{2}-(\sqrt{11})^{2}}}\\ &={\displaystyle \frac{1}{4} \ln \left |4x^{2}-11 \right | -\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2 \sqrt{11}} \ln \left|\frac{2x-\sqrt{11}}{2x+\sqrt{11}}\right|+C}\\ &={\displaystyle \frac{1}{4} \ln \left |4x^{2}-11 \right | -\frac{3\sqrt{11}}{44} \ln \left|\frac{2x-\sqrt{11}}{2x+\sqrt{11}}\right|+C} \end{split} \end{equation*}$

Finalement nous avons:

$\int \frac{2x-3}{4x^{2}-11}\, dx}= {\displaystyle \frac{1}{4} \ln \left |4x^{2}-11 \right | -\frac{3\sqrt{11}}{44} \ln \left|\frac{2x-\sqrt{11}}{2x+\sqrt{11}}\right|+C$

Problème 8
Evaluer: $\int \frac{x+3}{4x^{2}+12x}\, dx$

$\int \frac{x+3}{4x^{2}+24x}\, dx={\displaystyle \frac{1}{4}\int \frac{x+3}{x^{2}+6x}\, dx}$

Soit $u=x^{2}+6x$

Nous avons:

$du=(2x+6)dx \Rightarrow dx=\frac{du}{2(x+3)}$

(5) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x+3}{4x^{2}+24x}\, dx}&={\displaystyle \frac{1}{4} \int \frac{(x+3)du}{2(x+3)u}}\\ &={\displaystyle \frac{1}{8} \int \frac{du}{u}}\\ &= {\displaystyle \frac{1}{8} \ln | u |}+C \end{split} \end{equation*}$

Revenant sur $x$ :

Finalement:
${\displaystyle \int \frac{x+3}{4x^{2}+24x}\, dx}=\frac{1}{8} \ln |x^{2}+6x|+C$

Problème 9
Evaluer: $\int \frac{x^{5}-5x^{4}+3x-2}{x}\, dx$

(6) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x^{5}-5x^{4}+3x-2}{x}\, dx}&={\displaystyle \int \frac{x^{5}}{x}\, dx}-{\displaystyle 5 \int \frac{x^{4}}{x}\, dx}+{\displaystyle 3 \int \frac{x}{x}\,dx}-{\displaystyle 2\int \frac{dx}{x}} \\ &={\displaystyle \int x^{4}\, dx}-{\displaystyle 5 \int x^{3}\, dx}+{\displaystyle 3 \int dx}-{\displaystyle 2 \int \frac{dx}{x}} \\ &=\frac{x^{5}}{5}-5\cdot \frac{x^{4}}{4}+3x-2 \ln |x| +C \\&=\frac{1}{5}x^{5}-\frac{5}{4}x^{4}+3x-2 \ln |x| +C \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

${\displaystyle \int \frac{x^{5}-5x^{4}+3x-2}{x}\, dx} =\frac{1}{5}x^{5}-\frac{5}{4}x^{4}+3x-2 \ln |x| +C$

Problème 10
Evaluer: $\int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\, dx$

Nous utiliserons la substitution:

Soit $u=x^{3}+2 \Rightarrow du=3x^{2}dx$

(7) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\, dx}&={\displaystyle \frac{1}{3} \int \frac{3x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\, dx}\\ &={\displaystyle \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt[4]{u}}}\\&={\displaystyle \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{4}}du}\\ &=\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{-\frac{1}{4}+\frac{4}{4}}}{-\frac{1}{4}+\frac{4}{4}}+C\\&=\frac{4}{9}u^{\frac{3}{4}}+C \end{split} \end{equation*}$

De retour sur $x$

(8) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\, dx} &=\frac{4}{9}(x^{3}+2)^{\frac{3}{4}}+C\\ &=\frac{4}{9}\sqrt[4]{(x^{3}+2)^{3}}+C \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

${\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\, dx}=\frac{4}{9}\sqrt[4]{(x^{3}+2)^{3}}+C$

Problème 11
Evaluer: $\int 3x \sqrt{1-2x^{2}}\, dx$

Soit $u=1-2x^{2} \Rightarrow du=-4xdx$

Nous avons:

(9) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int 3x \sqrt{1-2x^{2}}\, dx}&={\displaystyle -\frac{3}{4}\int (-4x)\sqrt{1-2x^{2}}\, dx}\\ &={\displaystyle -\frac{3}{4}\int \sqrt{u}\, du}\\&= {\displaystyle -\frac{3}{4}\int u^{\frac{1}{2}}\, du}\\ &=-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}u^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}+C\\ &=-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}u^{\frac{3}{2}}+C\\&=-\frac{1}{2}u\sqrt{u}+C \end{split} \end{equation*}$

De retour sur $x$

${\displaystyle \int 3x \sqrt{1-2x^{2}}\, dx}=-\frac{1}{2}(1-2x^{2})\sqrt{1-2x^{2}}+C$

Finalement:

$\mathbf{{\displaystyle \int 3x \sqrt{1-2x^{2}}\, dx}=-\frac{1}{2}(1-2x^{2})\sqrt{1-2x^{2}}+C}$

Problème 12
Evaluer: $\int \frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}\, dx$

(10) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}\, dx}&={\displaystyle \int \frac{x^{2}+8x+16-16}{(x+4)^{2}}\, dx}\\ &={\displaystyle \int \frac{(x+4)^{2}-16}{(x+4)^{2}}\, dx}\\ &= {\displaystyle \int \frac{(x+4)^{2}}{(x+4)^{2}}\, dx}-{\displaystyle 16 \int \frac{dx}{(x+4)^{2}} }\\ &={\displaystyle \int dx }-{\displaystyle 16 \int (x+4)^{-2}\, dx } \end{split} \end{equation*}$

Mais nous remarquons que $\frac{d}{dx}(x+4)=dx$

Nous avons:

(11) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}\, dx}&={\displaystyle \int dx }-{\displaystyle 16 \int (x+4)^{-2}\, dx }\\ &=x-16 \cdot \frac{1}{-2+1}(x+4)^{-2+1}+C\\&=x+16(x+4)^{-1}\\ &=x+\frac{16}{x+4}+C \end{split} \end{equation*}$

Ce résultat peut être cassé pour montrer comment c’est dangereux de rejetter une réponse du calcul des primitives sans faire des analyses.

(12) $\begin{equation*} \begin{split} {\displaystyle \int \frac{x^{2}+8x}{(x+4)^{2}}\, dx}&=x+\frac{16}{x+4}+C\\ &=\frac{x^{2}+4x+16}{x+4}+C\\ &=\frac{x^{2}}{x+4}+4\frac{x+4}{x+4}\\ &=\frac{x^{2}}{x+4}+4+C\\ &=\frac{x^{2}}{x+4}+C_{1} \end{split} \end{equation*}$