Equations Quadratiques, pages multiples

Une équation quadratique ou équation du second degré est de la forme:

$ax^2+bx+c=0$

Ces équations contiennent des polynômes du second degré, avec le carré comme plus grand exposant.

C’est très important d’identifier les valeurs des constantes $a$ , $b$ et $c$ . La forme doit être écrite avec la forme ci-dessus.

L’exposant $2$ doit être présent pour que l’équation soit considérée comme quadratique. Si l’équation est donnée sous une autre forme, nous pouvons re-écrire pour avoir $a>0$ .

Exemple: $12x-x^2=16$ On doit la re-écrire pour avoir une forme standard:

$-x^2+12x=16$

$-x^2+12x-16=0$

En multipliant par $-1$ pour avoir la forme connue: $x^2-12x+16=0$

Il faut noter que $b$ et $c$ peuvent être $0$ , $<0$ ou $>0$ .

1.Résoudre par mise en facteurs:

Nous avons utiliser ce type de facteurs par le passé. Maintenant nous verrons comment on avait ces facteurs.

Soit :

$ax^2+bx+c=0$

Résoudre par mise en facteurs.

(1) $\begin{equation*} \begin{split} ax^2+bx+c&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\ &=a\left[{(x+\frac{b}{2a})}^2-{(\frac{b}{2a})}^2+\frac{c}{a}\right]\\ &=a\left[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right]\\ &=a\left[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{(b^2-4ac)}{4a^2}\right]\\ &=a\left[{(x+\frac{b}{2a})}^2-{(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})}^2\right] \end{split} \end{equation*}$

Utilisons la formule de la différence des carrés:

(2) $\begin{equation*} \begin{split} a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}^2\right]&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right]\\ &=a\left[\left(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right] \end{split} \end{equation*}$

En retournant à l’équation:

$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right]$

Finalement nous avons:

De $ax^2+bx+c=0$

$a\left(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=0$

Deux facteurs donnent toujours la solution.

Les deux valeurs de $x$ sont:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

2.D’autres méthodes:

Il se pourrait que les racines soient des entiers relatifs facile à trouver. Nous utilisons les méthodes suivantes pour la mise en facteurs.

Si nous avons $ax^2+bx+c$ , on peut trouver deux valeurs telles que:

-Leur somme est de $b$

-Leur produit est de $ac$ .

Alors nous pourrons écrire notre expression en remplaçant $b$ par ces deux nombres.

Exemple:

Mettre en facteurs:

$5x^2-21x-20$

Nous avons:

$a=5$

$b=-21$

$c=-20$

Trouver 2 nombres dont la somme est $-21$ et le produit est $(5)\cdot (-20)=-100$ .

Avec un peu d’expérience nous voyons que $-25$ et $4$ constituent ces deux nombres.

Nous mettons:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} 5x^2-21x-20&=5x^2-25x+4x-20\\&=(5x^2-25x)+(4x-20)\\ &=\left[5x(x-5)+4(x-5)\right]\\&=(x-5)(5x+4) \end{split} \end{equation*}$

En fin: $5x^2-21x-20=(x-5)(5x+4)$

3- Utilisation de la formule

Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ , nous ne passons pas par les facteurs cette fois. Nous utiliserons la formule que nous venons de découvrir.

Utilisons le Discriminant $\Delta$ Avec: $\Delta=b^2-4ac$

Nous avons les cas suivants:

-Lorsque $\Delta>0$ nous avons deux racines comme solution.

$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

-Lorsque $\Delta=0$ nous avons une racine double comme solution

$x=-\frac{b}{2a}$

-Lorsque $\Delta<0$ Il n’y a pas de racines dans l’ensemble des réels $\mathbb{R}$

(Pas de racine carrée pour les nombres négatifs dans ce cas).

4. Completer le carré:

Nous l’avons pratiquement vu ci-dessus. Nous devons isoler $x^2$ en ramenant tous les autres éléments au second membre.

$ax^2+bx+c=0$

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Nous savons que:

$x^2+\frac{b}{a}x={(x+\frac{b}{2a})}^2-{(\frac{b}{2a})}^2$

Nous obtenons: ${(x+\frac{b}{2a})}^2-{(\frac{b}{2a})}^2=-\frac{c}{a}$

Et puis

${(x+\frac{b}{2a})}^2={(\frac{b}{2a})}^2-\frac{c}{a}$

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}$

$(x+\frac{b}{2a})=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Finalement, la solution avec deux racines :

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Exemple: Résoudre en completant:

$8x^2-3x=1116$

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de: $8x^2-3x=1116$ “]

$x^2-\frac{3}{8}x=\frac{1116}{8}$

${(x-\frac{3}{16})}^2-{(\frac{3}{16})}^2=\frac{1116}{8}$

${(x-\frac{3}{16})}^2={(\frac{3}{16})}^2+\frac{1116}{8}$

${(x-\frac{3}{16})}^2=\frac{9}{256}+\frac{1116}{8}$

${(x-\frac{3}{16})}^2=\frac{9}{256}+\frac{35712}{256}$

${(x-\frac{3}{16})}^2=\frac{35721}{256}$

$x-\frac{3}{16}=\pm \sqrt{\frac{35721}{256}}$

$x=\frac{3}{16}\pm \frac{189}{16}$

$x_1=\frac{3+189}{16}$

$x_1=12$

$x_2=\frac{3-189}{16}$

$x_2=-\frac{93}{8}$

Solution: $(12, -\frac{93}{8})$

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Relation entre les racines d’une équation quadratique

Lorsque l’équation a deux racines, $x_1$ et $x_2$ dans $\mathbb{R}$ , on peut noter:

Somme des racines

(4) $\begin{equation*} \begin{split} x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-2b}{2a}\\ &=-\frac{b}{a} \end{split} \end{equation*}$

En fin:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Le produit des racines

(5) $\begin{equation*} \begin{split} x_1 \cdot x_2&=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \cdot \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\\ &=\frac{c}{a} \end{split} \end{equation*}$

En fin:
$x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$

Résoudre pour $x$

$x^4-3x^2+1=0$

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[item title=”Cliquer ici pour voir la solution de : $x^4-3x^2+1=0$ “]

Il faut noter quet $x^4=(x^2)^2$

Soit $t=x^2$

Nous avons:

$t^2-3t+1=0$

Ici:

$a=1$

$b=-3$

$c=1$

(6) $\begin{equation*} \begin{split} \sqrt{\Delta}&=\sqrt{9-4\cdot 1 \cdot 1}\\ &=\sqrt{5} \end{split} \end{equation*}$

$t_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Comme $t=x^2$ On remplace:

$x^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$x_1=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$

$x_2=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$

$t_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Comme $t=x^2$ On remplace:

$x^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$x_3=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

$x_4=-\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

$Solution: (\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}},-\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}},\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}},-\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}})$

Résoudre pour $x$ :

$8x^3-12x^2+2x-3=0$

Nous regroupons:

$8x^3-12x^2+2x-3=0$

$8x^3+2x-12x^2-3=0$

$2x(4x^2+1)-3(4x^2+1)=0$

$(2x-3)(4x^2+1)=0$

Deux cas:

$2x-3=0 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

La seule solution:

Réponse: $x=\frac{3}{2}$

Résoudre pour $x$

$2x^{-2}=x^{-1}+1$

Soit $x^{-1}=t$

Nous avons:

$2t^2-t-1=0$

$a=2$

$b=-1$

$c=-1$

(7) $\begin{equation*} \begin{split} \sqrt{\Delta}&=\sqrt{(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}\\ &=\sqrt{9}\\&=3 \end{split} \end{equation*}$

$t_1=\frac{1+3}{4}=1$

Mais $t=x^{-1} \Rightarrow x^{-1}=1$

$x_1=1$

$t_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$

Mais $t=x^{-1} \Rightarrow x^{-1}=-\frac{1}{2}$

$x_2=-2$

Réponse: $\{ -2, 1\}$

Résoudre en $x$

$\frac{3x}{x-4}=\frac{2x}{x-3}+\frac{6}{x^2-7x+12}$

Mais nous pouvons mettre en facteurs: $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

Nous obtenons: $\frac{3x}{x-4}=\frac{2x}{x-3}+\frac{6}{(x-3)(x-4)}$ with $x \not= 3, 4$

En utilisant le dénominateur commun: $3x(x-3)=2x(x-4)+6$

$3x^2-9=2x^2-8x+6$

$x^2-x-6=0$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{1+24}=\sqrt{25}=5$

Les racines:

$\x_1=\frac{1+5}{2}=3$

A rejeter

$x_2=\frac{1-5}{2}=-2$

Réponse: $\{-2\}$

Résoudre en $x$

$\sqrt{1+6x}=2-\sqrt{6x}$

Elevant les deux membres au carré:

$1+6x=4-4\sqrt{6x}+6x$

$4\sqrt{6x}=3$

Elevant au carré une autre fois $16(6x)=9$

$32x=3$

$x=\frac{3}{32}$

La vérification montre $\frac{5}{4}$ sur chaque membre.

Réponse: $\{\frac{3}{32} \}$

Fonctions Quadratiques

Une fonction quadratique est de la forme
$f(x)=ax^2+bx+c$
Comme on le sait, a,b et c sont des nombres réels avec $a \not=0$
Le Domaine de définition est l’ensemble des réels. $f(x)$ est définie pour toute valeur de $x$ dans $\mathbb{R}$ .
$D=(-\infty,+\infty)$

Ou simplement:
$D=\mathbb{R}$ .

Nous avons appris à trouver les racines de l’équation quadratique. Nous utiliserons le même raisonnement pour tracer les courbes des quadratiques.

Intersection avec l’axe des $x$ :
S’obtient en posant $f(x)=0$ . C’est simplement l’axe des $x$ . La valeur de $y$ est de $0$ partout sur cet axe.

Nous avons trois cas:

Lorsque $\Delta=\sqrt{b^2-4ac}$ est $>0$ , on avait deux racines.La courbe coupe l’axe des $x$ en deux points.

Lorsque $\Delta=\sqrt{b^2-4ac}$ est $=0$ , la courbe touche l’axe des $x$ en ce point.

Lorsque $\Delta=\sqrt{b^2-4ac}$ est $<0$ ,la courbe ne coupe /touche pas l’axe des $x$ .

L’intersection de la courbe avec l’axe de $y$ est le point où cette courbe coupe l’axe des $y$ .

Nous pouvons l’obtenir en prenant $x=0$ .

Nous devons arranger la forme de la fonction

(8) $\begin{equation*} \begin{split} (ax^2+bx+c)&=\left[a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right]\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \end{split} \end{equation*}$

Soit

$h=-\frac{b}{2a}$

$k=\frac{4ac-b^2}{4a^2}$

La fonction devient:

$f(x)=a{(x-h)}^2+k$

En traçant la courbe on voit que le point $(h,k)$ est un extremum de la fonction.

Ce point définit l’axe de symétrie.
$x=-\frac{b}{2a}$ est une droite verticale qui est l’axe de symétrie de la fonction.

Exemple:
Tracer la courbe de $f(x)=x^2-2x+1$
$h=-\frac{-2}{2}$
$h=1$
Et $k=\frac{4\cdot1 \cdot1-2^2}{4}$
$k=0$

On a:
$f(x)=(x-1)^2$

Le sommet $(1,0)$
l’intersection avec l’axe des $y$ : Lorsque $x=0$ , $f(x)=1$

Intersection avec l’axe des $x$ :

Les solutions:
$\Delta=0$
Elle touche l’axe des $x$ au sommet.

Courbes diverses

Si nous utilisons la forme $f(x)=a(x-h)^2+k$ , nous devons pouvoir tracer les variations sans beaucoup d’efforts.

Partons de la base:

$f(x)=x^2$

Maintenant pour $f(x)=(x-1)^2$ , On doit mouvoir la courbe de base 1 unité à droite.

Ajoutons maintenant l’ordonnée $y$

$f(x)=(x-1)^2+2$ , on deplace la courbe 2 unités en haut.

En changeant le signe de $a$

$f(x)=-x^2$ . La fonction se reflecte autour de l’axe des $x$ . C’est le mirroir de la courbe de base.

Maintenant prenons $a=2$ depuis la courbe de départ de:

$f(x)=2x^2$

Nous pouvons ainsi dire:

-Si $a<0$ On renverse la courbe avant de la mouvoir.

-Si $h>0$ , on déplace la courbe de $h$ unités sur la droite.

-Si $h<0$ , on déplace la courbe de $h$ unités sur la gauche.

-Si $k>0$ , on déplace la courbe de $k$ unités vers la haut.

-Si $k<0$ , on déplace la courbe de $k$ unités vers le bas.

-Si $\left|a\right|>1$ la courbe est plus étroite.

-Si $\left|a\right|<1$ la courbe est plus élargie.

Exemple:

$f(x)=-0.5(x+3)^2-2$

De $f(x)=x^2$ ,

Renverser, déplacer 3 unités vers la gauche, déplacer de 2 unités en bas. Courbe est plus élargie.

Tracer la courbe de la fonction:

$f(x)=x^2-9$

Problème 1

Une certaine Equation a sa courbe comme suit. Mettre l’Equation sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$

Solution:

Problème 2:

Soit:

$mx+6-3mx^2=m+4x^2-3x$

1. Pour quelles valeurs de $m$ l’équation a deux racines?

2. Trouver les valeurs de $m$ pour que l’équation ait une double racine. Calculer la racine pour chaque cas.

3. Trouver toutes les valeurs de $m$ rendant l’équation sans solution dans $\mathbb{R}$ .

4. Trouver les valeurs de $m$ donnant la valeur $4$ comme l’une des racines.

5.En fin, trouver les valeurs de $m$ donnant le produit des racines comme $-10$ .

Problème 3:

Soit:

$x^2+mx+9=0$

1. Pour quelle valeur positive de $m$ l’équation a une double racine?

2. Calculer la racine.

Solution:

$x^2+mx+9=0$
Pour une double racine, le discriminant $\Delta$ doit être $=0$
$\Delta=m^2-4(1)(9)$
$m^2-36=0$
$m^2=36$
$m=6$
Seule valeur acceptable.
Pour $m=6$ nous aurons:
$x^2+6x+9=0$
$x=\frac{-6}{2}$
$x=-3$