Techniques d’Integration , pages multiples

4.Intégration avec des quadratiques au dénominator

C’est la forme:

$\int \frac{dx}{ax^{2}+bx +c}$

Quelques formules de rappel:

Nous avons les vidéos.

$\int \frac{du}{a^{2}+u^{2}} }={\displaystyle \frac{1}{a}tan^{-1}\frac{u}{a}+C$

$\int \frac{du}{a^{2}-u^{2}} }={\displaystyle \frac{1}{2a}\ln \left | \frac{a+u}{a-u} \right |+C$

Nous savons que

$\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} }={\displaystyle \sin^{-1}\frac{u}{a}+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}} }={\displaystyle \ln \left | u+\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}\right |+C$

Ces formules nous serviront ici.

$ax^{2}+bx +c$ peut se mettre sous l’une des formes:

$u^{2} \pm a^{2}$ OU $a^{2} \pm u^{2}$ en fonction du signe de $a$

Ce qui nous permet d’utiliser l’une ou l’autre de ces formules.

Problème 24
Evaluer:
$\int \frac{dx}{x^{2}+4x +9}$

Prenons soins de la quadratique:

$x^{2}+4x +9=(x+2)^{2}-4+9=(x+2)^{2}+5==(x+2)^{2}+(\sqrt{5})^{2}$

On applique notre formule:

(1) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4x +9} }&={\displaystyle \int \frac{dx}{(x+2)^{2}+(\sqrt{5})^{2}} }\\ &={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1} \frac{x+2}{ \sqrt{5}}+C} \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

$\int \frac{dx}{x^{2}+4x +9} }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1} \frac{x+2}{ \sqrt{5}}+C}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan \frac{x+2}{ \sqrt{5}}+C$

Problème 25
Evaluer:
$\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}$

Nous pouvons écrire:

$\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} }={\displaystyle \frac{1}{a^{2}} \int \frac{dx}{1+(\frac{x}{a})^{2}}$

Soit:

$u=\frac{x}{a} \Rightarrow a\,du=dx$

$\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} }={\displaystyle \frac{a}{a^{2}} \int \frac{du}{1+u^{2}} }={\displaystyle \frac{1}{a}\tan^-{1} u+C$

De retour sur $x$

$\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} }={\displaystyle \frac{1}{a}\tan^-{1} \frac{x}{a}+C$

Finalement:

$\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}} }={\displaystyle \frac{1}{a}\tan^-{1} \frac{x}{a}+C}={\displaystyle \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

Problème 26
Evaluer:
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

On peut écrire:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} }={\displaystyle \frac{1}{a} \int \frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}$

Soit:

$u=\frac{x}{a} \Rightarrow a\,du=dx$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} }={\displaystyle \frac{1}{a} \int \frac{a\,du}{\sqrt{1-u^{2}}} }={\displaystyle \sin^{-1} u +C$

De retour sur $x$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} }={\displaystyle \sin^{-1} \frac{x}{a} +C$

Finalement:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} }={\displaystyle \sin^{-1} \frac{x}{a} +C }={\displaystyle \arcsin \frac{x}{a} +C$

Problème 27
Evaluer: $\int \sqrt{16-x^{2}} \, dx$

Ce cas contient $a^{2}-u^{2}$

Ici, $a=4$

Alors $u=x$

Let $u=4 \sin \theta \Rightarrow x=4\sin \theta$

$dx=4 \cos \theta d\theta$

$\sqrt{16-x^{2}}=\sqrt{16-16\sin^{2} \theta}=\sqrt{16(1-\sin^{2} \theta)}=4\sqrt{1-\sin^{2} \theta}=4\cos \theta$

De retour sur l’équation

(2) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \sqrt{16-x^{2}} \, dx }&= {\displaystyle 4\int \cos \theta \cdot 4 \cos \theta \, d\theta }\\ &= {\displaystyle 16\int \cos^{2} \theta \, d\theta }\\&={\displaystyle 16\int \frac{\cos 2\theta+1}{2} \, d\theta }\\ &={\displaystyle 8\int \cos 2\theta \, d\theta + 8\int \theta \, d\theta}\\&={\displaystyle \frac{8}{2}\sin 2\theta+8 \theta +C}\\ &= {\displaystyle 4 \cdot 2\sin \theta \cos \theta+8 \theta +C} \end{split} \end{equation*}$

Mais nous savons que:

$x=4\sin \theta \Rightarrow \sin \theta=\frac{x}{4}$

$4\cos \theta=\sqrt{16-x^{2}}\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{4} \sqrt{16-x^{2}}$

$x=4\sin \theta \Leftarrow \theta=\arcsin \frac{x}{4}$

De retour sur l’équation:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \sqrt{16-x^{2}} \, dx }&= {\displaystyle 4 \cdot 2\sin \theta \cos \theta+8 \theta +C}\\ &={\displaystyle 4 \cdot 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{16-x^{2}} +8 \arcsin \frac{x}{4}+C } \\ &={\displaystyle \frac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}}+8 \arcsin \frac{x}{4}+C } \end{split} \end{equation*}$