Techniques d’Integration , pages multiples

6. Intégration des fonctions irrationnelles

Les fonctions irrationnelles sont un peu difficile à intégrer. Il y a des cas qui nécessitent des techniques spécifiques.

Les techniques varient avec la situation. Heureusement que nous les avons citées plus haut.

Cas 1: Exposants en fractions

Beaucoup de fonctions irrationnelles seront combinées.

Problème 34

Evaluer: $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+1}} \, dx$

On pourra avoir les exposants de la forme:

$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+1}} \, dx}={\displaystyle \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}}+1} \, dx$

Nous cherchons le dénominateur commun de toutes les fractions en exposants.

Ici nous avons seulement deux $\frac{1}{2}$ and $\frac{3}{4}$

le dénominateur commun ici est de 4.

Soit $x=u^{4}$

$dx=4u^{3}du$

$x^{\frac{1}{2}}=u^{\frac{1}{2}\cdot 4}=u^{2}$

$x^{\frac{3}{4}}=u^{\frac{3}{4}\cdot 4}=u^{3}$

Nous aurons

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}}+1} \, dx}={\displaystyle 4\int \frac{u^{2}}{u^{3}+1}\, u^{3}du }={\displaystyle 4\int \frac{u^{5}}{u^{3}+1}\, du$

En divisant:

$\frac{u^{5}}{u^{3}+1}=u^{2}- \frac{u^{5}}{u^{3}+1}$

$4\int \frac{u^{5}}{u^{3}+1}\, du}={\displaystyle 4 \int u^{2}\, du- 4\int \frac{u^{2}}{u^{3}+1}\, du$

$4 \int u^{2}\, du- 4\int \frac{u^{2}}{u^{3}+1}\, du}={\displaystyle 4 \int u^{2}\, du- \frac{4}{3}\int \frac{3u^{2}}{u^{3}+1}\, du$

$4 \int u^{2}\, du- \frac{4}{3}\int \frac{3u^{2}}{u^{3}+1}\, du}={\displaystyle \frac{4}{3}u^{3}- \frac{4}{3} \ln \left | u^{3} \right |+ C$

De retour sur $x$ :

$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+1}} \, dx}={\displaystyle \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}}- \frac{4}{3} \ln \left | x^{\frac{3}{4}}+1 \right |+ C$

Finalement:

$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+1}} \, dx}={\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt[4]{x^{3}}- \frac{4}{3} \ln \left |\sqrt[4]{x^{3}}+1 \right |+ C$

Problème 35

Evaluer: $\int \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^{7}}+\sqrt[4]{x^{5}}} \, dx$

On écrit les exposants comme suit:

$\int \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^{7}}+\sqrt[4]{x^{5}}} \, dx}={\displaystyle \int \frac{x^{\frac{1}{6}}+1}{x^{\frac{7}{6}}+x^{\frac{5}{4} }} \, dx$

Les fractions sont: $\frac{1}{6}$ , $\frac{7}{6}$ and $\frac{5}{4}$

Le dénominateur commun est PPCM de 6 et 4. C’est 12.

Soit $x=u^{12} \Rightarrow dx=12u^{11}du$

$\int \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^{7}}+\sqrt[4]{x^{5}}} \, dx}={\displaystyle \int \frac{u^{2}+1}{u^{14}+u^{15} } \cdot 12u^{11}\, du$

$\int \frac{u^{2}+1}{u^{14}+u^{13} } \cdot 12u^{11}\, du}={\displaystyle 12\int \frac{u^{2}+1}{u^{3}+u^{4} }\, du$

$12\int \frac{u^{2}+1}{u^{3}+u^{4} }\, du}={\displaystyle 12\int \frac{u^{2}+1}{u^{3}(u+1) }\, du$

Soit maintenant:

$\frac{u^{2}+1}{u^{3}(u+1)} }={\displaystyle \frac{A}{u}+ \frac{B}{u^{2}}+ \frac{C}{u^{3}} + \frac{D}{u+1}$

$A(u^{3}+u^{2})+ B(u^{2}+u)+C(u+1)+D(u^{3})$

Pour $u=0$

$C=1$

Les termes $u^{2}$

$Au^{2}+Bu^{2}=u^{2}$

$A+B=1$

$A=1-B$

Les termes en $u$ :

$Bu+Cu=0u$

$B+C=0$

$B=-C=-1$

$A=1-B=1+1=2$

Les termes en $u^{3}$

$Au^{3}+Du^{3}=0u^{3}$

$A+D=0$

$D=-A=-2$

On a:

$\frac{u^{2}+1}{u^{3}(u+1) }}={\displaystyle \frac{2}{u}- \frac{1}{u^{2}}+ \frac{1}{u^{3}} - \frac{2}{u+1 }$

(1) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle 12\int \frac{u^{2}+1}{u^{3}(u+1) }\, du}&= {\displaystyle 12\int \frac{2du}{u}- 12\int \frac{du}{u^{2}}+ 12\int \frac{du}{u^{3}}-12\int \frac{2du}{u+1} }\\ &= {\displaystyle 24 \ln |u|+\frac{12}{u}-\frac{6}{u^{2}}-24 \ln |u+1| +C} \end{split} \end{equation*}$

De retour sur $x$

Nous savons que $x=u^{12}\Rightarrow u=x^{\frac{1}{12}}$

(2) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^{7}}+\sqrt[4]{x^{5}}} \, dx}&= {\displaystyle 24 \ln \left | x^{\frac{1}{12}} \right |+\frac{12}{x^{\frac{1}{12}}}-\frac{6}{(x^{\frac{1}{12}})^{2}}-24 \ln \left |x^{\frac{1}{12}}+1 \right | +C}\\ &= {\displaystyle 24 \ln \left |\sqrt[12]{x} \right |+\frac{12}{\sqrt[12]{x}}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}-24 \ln \left |\sqrt[12]{x}+1 \right | +C} \end{split} \end{equation*}$

Finalement:

$\int \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^{7}}+\sqrt[4]{x^{5}}} \, dx}={\displaystyle 24 \ln \left |\sqrt[12]{x} \right |+\frac{12}{\sqrt[12]{x}}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}-24 \ln \left |\sqrt[12]{x}+1 \right | +C$

$\int \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^{7}}+\sqrt[4]{x^{5}}} \, dx}={\displaystyle 2 \ln \left | x \right |+\frac{12}{\sqrt[12]{x}}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}-24 \ln \left |\sqrt[12]{x}+1 \right | +C$

Cas 2: Une seule fraction avec un exposant sous forme de fraction

$\int \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \, dx$

Nous utiliserons la relation suivante:

$\frac{ax+b}{cx+d} =u^{n}$

Problème 36

Evaluer: $\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{x}} \, dx$

Soit $u^{2}=\frac{1-x}{x}$

$1-x=u^{2}x$

$u^{2}x+x=1$

$(u^{2}+1)x=1$

$x=\frac{1}{u^{2}+1}$

$dx=\frac{-2u}{(u^{2}+1)^{2}}\, du$

Nous aurons:

(3) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{x}} \, dx }&={\displaystyle \int (u^{2}+1)u \cdot \frac{-2u}{(u^{2}+1)^{2}} \, du}\\ &= {\displaystyle -2\int \frac{u^{2}}{u^{2}+1} \, du}\\ &={\displaystyle -2\int \frac{u^{2}+1-1}{u^{2}+1} \, du}\\ &={\displaystyle -2\int du+2 \int \frac{du}{u^{2}+1} \, du}\\ &=-2u+2\ \arctan u+C \end{split} \end{equation*}$

De retour sur $x$

${\displaystyle \int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{x}} \, dx }=-2\sqrt{\frac{1-x}{x}}+2\arctan \sqrt{\frac{1-x}{x}}+C$

Finalement:

${\displaystyle \int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{x}} \, dx }=-2\sqrt{\frac{1-x}{x}}+2\arctan \sqrt{\frac{1-x}{x}}+C$

Problème 37

Evaluer: $\int \frac {\sqrt{x+4}}{x} \, dx$

Soit $u^{2}=x+4$

$x=u^{2}-4$

$dx=2u\, du$

Nous avons:

(4) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac {\sqrt{x+4}}{x} \, dx }&={\displaystyle \int \frac{u}{u^{2}-4}\cdot 2u \, du}\\ &= {\displaystyle 2\int \frac{u^{2}}{u^{2}-4}\, du}\\ &={\displaystyle 2\int \frac{u^{2}-4+4}{u^{2}-4}\, du}\\ &={\displaystyle 2\int du+8 \int \frac{du}{u^{2}-4}\, du}\\ &=2u+\frac{8}{4}\ln \left |\frac{u-2}{u+2} \right | +C \end{split} \end{equation*}$

De retour sur $x$

$\int \frac {\sqrt{x+4}}{x} \, dx }={\displaystyle 2\sqrt{x+4}+2\ln \left |\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2} \right | +C$

Finalement:

$\int \frac {\sqrt{x+4}}{x} \, dx }={\displaystyle 2\sqrt{x+4}+2\ln \left |\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2} \right | +C$

Cas 3: Foction irrationnelle au dénominateur avec un polynôme au numérateur

Nous l’avons vu plus haut :

La forme est de:

$\int \frac{ax+b}{\sqrt{ax^{2}+bx +c}}\, dx$

Problème 38

Evaluer: $\int \frac{4x-1}{\sqrt{5-4x-x^{2}}} \, dx$

Nous savons que:

${\displaystyle \frac{d(5-4x-x^{2})}{dx} }=-4-2x=-2x-4$

Aussi:

$-(2+x)^{2}=-(4+4x+x^{2})=-4-4x-x^{2}$

$5-4x-x^{2}=9-(4+4x+x^{2}=9-(2+x)^{2}=3^{2}-(2+x)^{2}$

De $4x-1$

$4x-1=-2(-2x-4)-9$

De retour sur l’évaluation:

(5) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int \frac{4x-1}{\sqrt{5-4x-x^{2}}} \, dx }&={\displaystyle -2 \int \frac{-2x-4}{\sqrt{5-4x-x^{2}}} \, dx -9 \int \frac{dx}{\sqrt{5-4x-x^{2}}} }\\ &= {\displaystyle -2 \int \frac{-2x-4}{\sqrt{5-4x-x^{2}}} \, dx -9 \int \frac{dx}{\sqrt{3^{2}-(2+x)^{2}}} }\\ &={\displaystyle -4\sqrt{5-4x-x^{2}}-9\sin^{-1} \frac{2+x}{3} +C} \end{split} \end{equation*}$