Introduction aux nombres complexes

Transformations et nombres complexes

Toute transformation sur le plan d’un point $M$ donne son image $M'$ .
On associe chaque point à son affixe. On appelle ces deux $z$ et $z'$ , deux nombres complexes.

On écrit la transformation en utilisant les nombres complexes:

$z'=f(z)$ avec $f$ une fonction complexe qui associe $z$ à $z'$

Translation

Pour un vecteur $\vec{v}$ nous avons un affixe $m$ .

On a:

$z'=z+m$

Une simple addition de deux vecteurs.

Prenons un point $A$ d’affixe $z_A=3+4i$
On fait une translation de $\vec{v}\binom 5{-3}$ . Simple addition de deux complexes $5-3i$
On aura un autre point $A'$ qui est l’image de $A$ d’affixe $z_{A'}$

$z_{A'}=z_A+5-3i$
$z_{A'}=3+4i+5-3i=8+i$

Imaginer un navire qui a une certaine vitesse suivant un cap donné.

Rotation avec les nombres complexes

La rotation doit se centrer à l’origine $O$ . Si $\theta$ est l’angle de rotation:
L’image de $z$ est

$z'=e^{i\theta}z$

Ce cas est simple. Maintenant prenons un autre centre de rotation $\Omega$ d’affixe $\omega$ .

L’idée sera de ramener le centre au point (0,0). Une simple translation en ajoutant $-\omega$ en premier, on effectue la rotation et enfin on ajoute $\omega$ pour compenser la première translation.

$z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega$

Exemple:

Rotation autour $O$

Un point $A$ d’affixe $z_A=1+i$ subit une rotation autour de l’origine d’un angle de $\frac{\pi}{4}$ , trouver le point $A'$ d’affixe $z_{A'}$ , image de $A$ après la rotation.

$z_A=\sqrt{2}(cos \frac{\pi}{4}+ i \sin \frac{\pi}{4})$ , $\frac{\pi}{4}$ est l’angle de base.

Expression exponentielle:
$z_A=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

On utilise la formule de rotation:
$z_{A'}=e^{i\frac{\pi}{4}}z_A=e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})}$
$z_{A'}=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}}=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2})=i\sqrt{2}$

Rotation autour d’un point quelconque

Avec un point $A$ d’affixe $z_A=1+i$ autour d’un autre point $\Omega$ d’affixe $\omega=2$ d’un angle de $\frac{\pi}{4}$

On utilise la formule:
$z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega$

$z_A-\omega=1+i-2=-1+i$

L’image finale:
$z'_A=-1+i=\sqrt{2}(cos \frac{3\pi}{4}+ i \sin \frac{3\pi}{4})$ , $\frac{3\pi}{4}$ est l’angle de base.
$z''_A=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}e^{i\frac{3\pi}{4}}+2=\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4})}+2=\sqrt{2}e^{i\pi}+2=2+\sqrt{2}(cos \pi+ i \sin \pi)=2-\sqrt{2}$