L’avion qui survole

MD05CF: L’avion qui survole, Trigonométrie

Un navigateur à bord d’un navire au mouillage mesure l’angle inclinaison d’un avion qui approche et trouve 28 degrés. La measure a été faite à 10h 59m 50s. L’altitude de l’avion en ce moment était de 5800 pieds. A 11h 00m 15s, il fait une autre observation et trouve un angle de 53 degrés.

Selon la communication, l’avion a entamé la descente à un aérport non trop loin. La descente est constante et vaut 32,8 pieds par seconde.L’avion conservera sa vitesse durant l’observation.
1. Quelle est la vitesse de l’avion en km/h? arondir au dixième près.

2. A quelle heure et à quelle altitude l’avion passera au dessus de l’observateur ? Arondir l’altitude au mètre près, et le temps au dixième de la seconde près.
3. La visibilité est de 15000 pieds. A quelle heure, au dixième de la seconde près, l’avion ne sera plus visible ?

4. Quelle sera l’angle d’élevation en ce moment ?

5. Quelle sera l’altitude de l’avion, au mètre près, au moment où il commence à être invisible ?

6. Quelle est la distance totale, au mètre près, parcourue par l’avion pendant la durée de l’observation ?
On supposera que le niveau du sol est sans pente et on prendra 1 mètre= 3,28 pieds. 1km=1000m

Solution

Ce problème contient des questions qui font que l’étudiant aura à faire appel aux sujets que nous avons couverts sur ce site web.

Question 1:Quelle est la vitesse de l’avion en km/h? Arondir au dixième près.

En regardant notre figure dessus, nous voyons que nous pourrons trouver le temps écoulé entre les deux positions A et B.

Deux chemins pour ce faire:

Au point A nous avons besoin 10 secondes pour arriver à 11:00:00 Hrs. L’avion arrive au point B 15 secondes après 11:00:00 Heures.
Total 10secondes+15 secondes=25 secondes.

$T_B=11 \times 3600+0 \times 60+15=39615\;secondes$
$T_A=10 \times 3600+59\times 60+50=39590\;secondes$
Maintenant le temps écoulé:
$<em>t=39615-39590\&=25 \; secondes</em>$

La descente est de $32.8\frac{pieds}{seconde}$
En convertissantt: $\frac{1\;m}{3.28\;ft}=\frac{x\; m}{32.8;ft}$
Avec notre connaissance sur les proportions: $32.8\;ft=10\;m$
Nous aurons aussi l’altitude

$EA=5,800\;ft =1768\;m$

Trouver la distance AB:

La descente totale verticale:
AA’&=25\times 10 =250\;m $Avec le triangle$ \triangle AA’B $nous avons$ AB=\sqrt{{AA’}^2+{A’B}^2} $Mais$ \overline{A’B}=\overline{EF} $Selon le postulat sur l'addition des segments:$ \overline{EO}=\overline{EF}+\overline{FO} $Nous obtenons$ EO=EF+FO\Rightarrow EF=EO-FO\tan{\alpha}=\frac{AE}{EO} \Rightarrow EO=\frac{AE}{\tan{\alpha}} $EO=frac{1768}{\tan{28^\circ}}=3325\;m$
Nous calculons maintenant $FO$ mais:
$\tan{\beta}=\frac{BF}{FO} \Rightarrow FO=\frac{BF}{\tan{\beta}}$

Cependant:
BF=A’E\\&=AE-AA’=1768-250=1518\;m $  <strong>Pour$ FO $:</strong>$ FO=\frac{BF}{\tan{\beta}}=\frac{1518}{\tan{53 ^\circ}}=\frac{1518}{1.327}=1144\;m $  <strong>Pour$ EF $:</strong>  $ EF&=A’B=EO-FO=3325-1144=2181\;m $Aussi:\tan{\angle{A'BA}}&=\frac{AA'}{A'B}\\&=\frac{250}{2181}\\&=0114626$
$\angle{A'BA}=6.5391^\circ$

Maintenant nous calculons AB, nous avons au moins deux chemins:

$\sin{\angle{A'BA}}=\frac{AA'}{AB} \Rightarrow AB=\frac{AA'}{\sin{\angle{A'BA}}}$
$AB&=\frac{250}{\sin{6.5391^ \circ}}\\&=2195\;m$

AB=\sqrt{{AA’}^2+{A’B}^2}\=\sqrt{{250}^2+{2181}^2 }=2195\; m $  La vitesse: Une heure vaut 3600 secondes$ 25 \;seconds \longrightarrow 2.195 \;km3600 \;seconds \longrightarrow x \;km\x=\frac{3600 \times 2.195}{25}=316.1\;km/h $  Réponse: L'avion survole à une vitesse de$ 316.1\;km/h $  <h4 class="wp-block-heading">Question 2: A quelle heure et à quelle altitude l'avion passera au dessus de l'observateur ? Arondir l'altitude au mètre près, et le temps au dixième de la seconde près.</h4>   Sur la figure,avec$ \triangle{BFO} $nous avons:  $ sin{\beta}=\frac{BF}{OB}\Rightarrow OB=\frac{BF}{\sin{\beta}}OB=\frac{1518}{\sin{53 ^\circ}}=1901\;m $ $ {OB}^2={FO}^2+{BF}^2OB=\sqrt{{1144}^2+{1518}^2}=1901\; m $ $ m \angle{BOC}=90 ^\circ-53^ \circ=37 ^\circ m \angle{BCO}=90^\circ+ m\angle{BCB’} $Mais l'avion suit une transversale qui coupe toutes ces lignes parallèles.$ m \angle{BCB’}=m \angle{A’BA}m \angle{BCO}=90^ \circ+6.5391^ \circ=96.5391^ \circ $  Selon la figure:$ \frac{\sin{\angle{BOC}}}{BC}= \frac{\sin{\angle{BCO}}}{OB} $ $ BC&=OB \cdot \frac{\sin{\angle{BOC}}}{\sin{\angle{BCO}}}= 1901 \cdot \frac{\sin{37^ \circ}}{\sin{96.5391 ^\circ}}=1152 \;m $
L’avion a parcouru $1.152 \;km$

Le temps:
$t=\frac{1.152\;km \times 3600\;seconds}{316.1 \;km}=13.1\; seconds\end{align*}$

Réponse: L’avion sera au dessus de l’observateur à 11:00:28.1 Hrs

Nous avons juste ajouté les 13.1 secondes aux 15 secondes après 11:00 Hrs.

$\tan{\angle{B'CB}}=\frac{BB'}{B'C}$

Mais nous savons que:
$B'C=OF \Rightarrow \tan{}\angle{B'CB}=\frac{BB'}{OF}$
$<em>BB'&=1144 \times \tan{6.5391^\circ}\&=131\;m </em>$
La descente verticale est de 10 m par seconde. Le temps de descente est de $t=\frac{131}{10}$
Nous trouvons les mêmes 13.1 secondes.

L’altitude de l’avion quand il sera au dessus de l’observateur:
La distance OC

$OC&=FB-BB'\\&=1518-131\\&=1387\;m$

Réponse:L’altitude est de $1387\;m$ quand l’avion passe au dessus de l’observateur.

Question 3: La visibilité est de 15000 pieds. A quelle heure, au dixième de la seconde près, l’avion ne sera plus visible ?

$m\angle{OCD}=90^\circ-6.5391^ \circ=83.4609 ^\circ$
$OD&=15,000\;pieds\\&=4573 \;m$

$\frac{\sin{\angle{OCD}}}{OD}= \frac{\sin{\angle{ODC}}}{OC}$
$\sin{\angle{ODC}}&= OC\cdot \frac{\sin{\angle{OCD}}}{OD}\\&= 1387 \cdot \frac{\sin{83.4609^ \circ}}{4573}\\&=0.30133$
Nous trouvons: $m\angle{ODC}=17.5374^ \circ$
Nous avons aussi:
$m\angle{COD}=180^\circ-(83.4609^\circ+17.5374^\circ)\\&=79.0017^\circ$

Nous poursuivons notre chemin vers CD:
$\frac{\sin{\angle{COD}}}{CD}= \frac{\sin{\angle{OCD}}}{OD}$
$CD=OD \times \frac{\sin{\angle{OCD}} }{\sin{\angle{OCD}}}= 4573 \times \frac{\sin{79.0017 ^\circ} }{\sin{83.4609 ^\circ}}\\&=4518 \;m\\&=4.518\;km$

Le temps pour parcourir CD:
$t=\frac{4.518 \times 3600}{316.1}=51.5\;seconds$
En ajoutant à $T_B=11:00:28.1\;Hrs$ nous obtenons:

Réponse: Le temps après lequel l’avion ne sera plus visible est de: $T_D=11:01:19.6 Heures$

Question 4: Quelle sera l’angle d’élevation en ce moment ?

Nous devons trouver $m\angle{DOP}$
$m\angle{DOP}&=90^\circ-m\angle{COD}=90^\circ-79.0017 ^\circ=10.9983 ^\circ\\&\approx 11 ^\circ$

Réponse: L’angle d’élevation est $11^ \circ$

Question 5: Quelle sera l’altitude de l’avion, au mètres près, au moment où il commence à être invisible ?

Nous devons calculer $DP$ .
Beaucoup de chemins pour ce faire:
$\sin{\angle{DOP}}=\frac{DP}{OD} \Rightarrow DP=OD \cdot \sin{\angle{DOP}}$
$DP&=4573 \cdot \sin{10.9983^ \circ}=872\;m$

Réponse: L’altitude de l’avion au moment où il commence à être invisible est de: $872 \;m$

Question 6: Quelle est la distance totale, au mètre près, parcourue par l’avion pendant la durée de l’observation ?
On supposera que le niveau du sol est sans pente et on prendra 1 mètre= 3,28 pieds. 1km=1000m

Beaucoup de chemins pour ce faire:

Méthode 1:

Descente totale verticale:
Au point $A$ l’altitude est de $1768 \;m$
La descente totale est de: $1768-872=896$
Le temps de la descente: $\frac{896}{10}=89.6 \; secondes$
Ce qui vérifie la différence entre les temps aux positions D et A.
Maintenant la distance est de:
$Dist=\frac{89.6 \times 316.1}{3600}=7.867\;km=7,867\;m$

Réponse:: La distance totale est de: $7,867\;m$

Méthode 2:

$Dist=AB+BC+CD\\&=2,195+1,152+4,518=7865\;m$
Légèrement différente à cause des arrondis dans l’autre méthode.

Méthode 3:

Avec le triangle $\triangle AOD$ :
$m \angle{OAD}=21.4609$
$m \angle{AOD}=141.0017$
$m \angle{ADO}=17.5374$
OA=\sqrt{{EA}^2+{OE}^2}=\sqrt{{1768}^2+{3325}^2}=3766 \;m $Nous utilisons:$ AD&=\sqrt{{OA}^2+{OD}^2-2 \cdot (OA)\cdot (OD) \cdot cos{\angle {AOD}}}= \sqrt{{3766}^2+{4573}^2-2 \cdot (3766)\cdot (4573) \cdot cos{141.0017^\circ}}\\&=7865\;m $