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Exponentielle et logarithme, pages multiples

April 10, 2020 Mouctar Algèbre 0

Fonctions logarithmiques

La fonction exponentielle $f(x)=a^{x}$ est valable pour $0<a<1$ or $a>1$ .

On peut aussi écrire: $\forall a \in (0,1)\cup (1,+\infty)$

La fonction reciproque est la $fonction\; logarithmique$ .

Si $f(x)=5^{x}$

On a $y=5^{x}$

Si on interchange: $x=5^{y}$

On voit que:

$y=\log_{5}x$

$f^{-1}(x)=\log_{5}x$

TCes Equations sont de la forme:

$f(x)=\log_{b}x$

Notation:

$b^{y}=x$ is equivalent to $\log_{b}x=y$

Exemple: $5^{4}=x$

Signifie $\log_{5}x=4$

Pour résoudre:

$y=\log_{b}x$

On écrit: $y=b^{x}$

Le graphe de la fonction logarithmique est une reflexion autour de l’axe $y=x$ de la fonction exponentielle.

Le domaine $(0,\infty)$ avec une portée de $\mathbb{R}$ .

L’intersection avec l’axe des $x$ est de $1$ pendant qu’il n’y a pas d’intersection avec l’axe des $y$

Elle décroît si $0<a<1$ et elle croît si $a>1$ .

Propriétés des logarithmes:

$\log_{b}b=1$ car $b^{1}=b$

$\log_{b}1=0$ car $b^{0}=1$

$\log_{b}b^{n}=n$ car $b^{n}=b^{n}$

$b^{\log_{b}x}=x$

Avec $b \neq 1$

$\log_{b}(u\cdot v)=\log_{b}u+\log_{b}v$

$\log_{b}\left(\frac{u}{v}\right)=\log_{b}u-\log_{b}v$ , avec $b$ , $u$ , $v$ et $x$ sont des réels positifs et $b \neq 1$

$\log_{b}u^{n}=n\cdot \log_{b}u$

Formule de changement de Base:

$\log_{b}x=\frac{\log_{c}x}{\log_{c}b}$ , avec $b$ , $c$ , et $x$ sont des réels positifs, $b \neq 1$ , et $c \neq 1$

Si:

$\log_{b}u=\log_{b}v$ , alors $u=v$

Ici , $u$ , $v$ , et $b$ sont des réels positifs et $b \neq 1$

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