Exponentielle et logarithme, pages multiples

Croissance Exponentielle et décroissance

Loi de la croissance:

Avec $A_0$ la valeur initiale ( temps t=0) et la constante $k \neq 0$

$A(t)=A_0e^{kt}$

Une fonction croissante ou décroissante en fonction de la valeur de $k$
Si $k>0$ nous avons une croissance.
Si $k<0$ c’est la décroissance.

Pour une croissance de cellules nous avons $k>0$

La formule:

$N(t)=N_0e^{kt}$

Décroissance Radioactive:

C’est la même formule avec $k<0$

$A(t)=A_0e^{kt}$

Pour la datation , on parle de la période radioactive (ou demi-vie) qui est d’environ $5600\; ans$ pour le carbone 14.

Pendant que le carbone 12 ne change pas en valeur, il permet de déterminer l’instant de la mort de l’organisme, quand on le compare au carbone 14 restant.

Exemple:

La quantité de carbone 14 restant dans un processus de datation est de 2.15% de la valeur initiale.
Utilisant la la période radioactive du carbone 14 de 5600 and, trouver la data de la mort de l’organisme.

Solution
$A(t)=A_0e^{kt}$

Pour $t=5600$ la moitié de l’original:

$\frac{1}{2}A_0=A_0e^{5600k}$

$\frac{1}{2}=e^{5600k}$

$-\ln2=5600k$

$k=-\frac{\ln2}{5600}$
$k=-1.23776628\times 10^{-4}$
$k=-0.000123776628$

L’Equation est maintenant:

$A(t)=A_0e^{-0.000123776628t}$

Dans ce cas, $A(t)=0.0215A_0$

$0.0215A_0=A_0e^{-0.000123776628t}$

$0.0215=e^{-0.000123776628t}$
$\ln(0.0215)=-0.000123776628t$
$t=\frac{\ln(0.0215)}{-0.000123776628}$
$t \approx 31,021$ ans.

Newton Loi de refroidissement

La $u$ d’un objet qui est chauffé en un temps $t$ , avec $k<0$ , $u_0$ de la temperature originale et $T$ la temperature de l’environnement.

$u(t)=T+(u_0-T)e^{kt}$

Les modèles logistiques utilisent la formule suivante:

$P(t)=\frac{c}{1+ae^{-bt}}$

Les constantes $a$ et $c$ sont $>0$ . Si $b>0$ nous avons une croissance. Si $b<0$ nous avons une décroissance.
$c$ s’appelle $capacité\;de \;transport$