Progressions et suites

Le document qui suit n’est qu’un simple sommaire sur les progressions.

Nous allons explorer quelques applications pratiques du calcul des progressions.

Imaginer quelqu’un qui se lève le matin et note tout ce qui se passe pendant toute la journée dans un ordre chronologique. Nous avons une suite de ces évènements.

Dans une suite on marquera 1,2,3,4, …..

On peut même y générer un graphe.

En sommaire:

Une suite peut se définir comme une fonction ayant comme domaine de définition l’ensemble des nombres positifs.

Dans la progression qui suit

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{8}$ ,….

Les nombres sont dans un ordre. Ce sont les $termes$ de la suite.

En prenant $f(n)=\frac{1}{2n}$ et donnant des valeurs 1,2,3,4,….. à $n$ . Nous aurons la suite.

$f(1)=\frac{1}{2}$

$f(2)=\frac{1}{4}$

……………………..

$f(n)=\frac{1}{2n}$

La formule pour le $nième$ terme dans $f(n)=\frac{1}{2n}$ s’appelle le $Terme \quad Général$ de la progression.

La notation de Factoriel:

Si $n \geq 0$ est un entier, la notation sous forme de factoriel $n!$ est:

$0!=1$

$1!=1$

$n!=n(n-1)(n-2)....2\times1$ for $n\geq2$

A noter que:

$n!=n(n-1)!$

Exemples

$3!=3\times2 \times1=6$

$5!=5\times 4 \times 3!=20\times 6=120$

Formule Recursive:

Quand une valeur est basée sur la valeur qui la précéde, nous utilisons la formule recursive.

Exemple:

$U_{1}=4$

$U_{n}=nU_{n-1}$

Nous devons connaître le terme pour pouvoir avoir le terme qui le suit.

Dans cet exemple:

$U_{2}=2U_{1}=8$

$U_{3}=3U_{2}=3\times 8=24$

$U_{4}=4U_{3}=4\times 24=96$

Compris?

Suite de Fibonacci :

$U_{1}=1$

$U_{2}=1$

$U_{n}=U_{n-2}+U_{n-1}$

Nous obtenons

$1,1,2,3,5,8,13 \cdots$

Notation sigma:

les suites vont de pair avec la notation sigma:

Si on prend:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+\cdots+x_{n}$

Nous pouvons l’écrire sous format sigma.

Si $k$ est une variable allant de $1$ à $n$ , On peut dire que c’est la somme de $x_{k}$ quand $k$ varie de $1$ à $n$

On peut écrire:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+\cdots+x_{n}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}$

Exemple:

$\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}=1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots+n^{2}$

Dans ces formules, $k$ is l’ $Index$ .

Propriétés des suites:

Si $a^{n}$ et $b_{n}$ sont des suites et $c$ est un nombre réel, nous avons le THEOREME suivant:

$\sum_{k=1}^{n}(ca_{k})=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+ca_{4}+\cdots+ca_{n}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}$

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}$

$\sum_{k=j+1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{j}a_{k}$

avec $0<j<n$

Quelques suites et progressions:

Calculant

$\sum_{k=1}^{n}k$

Nous avons:

$(k+1)^{2}=k^{2}+2k.1+1$

$(k+1)^{2}-k^{2}=2k.1+1$

Pour des valeurs multiples de $k$

$2^{2}-1^{2}=2.1+1$

$3^{2}-2^{2}=2.2+1$

$4^{2}-3^{2}=2.3+1$

……………………………

$(n+1)^{2}-n^{2}=2.n+1$

——————————————————————–

$(n+1)^{2}-1=2(1+2+3+4+\cdots +n)+n$

$(n+1)^{2}-1=2\sum_{k=1}^{n}k+n$

$n^{2}+2n+1-1=2\sum_{k=1}^{n}k+n$

$n^{2}+2n=2\sum_{k=1}^{n}k+n$

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^{2}+2n-n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^{2}+n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

C’est la première relation:

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

On peut prouver

$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

En utilisant:

$(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1$

$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Ou, un exposent de plus:

$\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$

Progressions arithmétiques:

Chaque nombre est appelé terme. Dans une progression arithmétique, chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur constante, $RAISON$ , au terme précédent.

The premier terme se note $a_{1}$

La raison se note $d$ .

Cas des nombres naturels: $1,2,3,4,5\cdots n$

Dans cette progression, $a_{1}=1$ et $a_{n}=n$ avec une raison de $d=1$
En développant:

$a_{1}=a_{1}$

$a_{2}=a_{1}+d$

$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2\cdot d$

$a_{4}=a_{3}+d=a_{2}+d=a_{1}+3\cdot d$

………………………………

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

On voit que le $nième$ terme peut se calculer: Avec $n$ un entier positif:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

EXEMPLE 1:

Soit la progression:

$100,96,92,\cdots$ , trouver le $7ème$ terme.

$a_{1}=100$
$d=96-100=-4$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$a_{7}=100+(7-1)(-4)=100-24=76$

EXEMPLE 2:

Soit la progression:

$5,13,21,\cdots$ .
Trouver le nième terme.

$a_{1}=5$
$d=13-5=21-13=8$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$a_{n}=5+(n-1)(8)=5+8n-8=8n-3$

Les moyennes arithmétiques s tout simplement les termes compris entre deux termes non consécutifs d’une progression arithmétique.

Exemple:

33 et 35 sont deux moyenes arithmétiques entre 31 et 37 dans la progression $31,33,35,37, \cdots$

Séries Arithmétiques:

C’est tout simplement la somme des termes d’une progression arithmétique.

Progression arithmétique: $14,10,6,2$

Série arithmétique: $14+10+6+2$

Nous avons vu plus haut certains types de séries.

Pour les $n$ termes d’une série arithmétique:

La somme $S_{n}$ est de:

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

DEMO:

$S_{n}=1+2+3+4+\cdots+(n-2)+(n-1)+n$

$S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+4+3+2+1$

————————————

$2S_{n}=(n+1)\times n$

$s_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ with $a_{1}=1$ and $a_{n}=n$

Soit:

$a_{1}=24$

$a_{n}=114$

$s_{n}=414$

Trouver $a_{3}$ and $a_{5}$

Solution:

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

$414=\frac{n(24+114)}{2}$

$414=n(12+57)$

$69n=414\Rightarrow n=\frac{414}{69}=6$

La raison: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$114=24+(6-1)d$

$5d=114-24$

$5d=90$

$d=\frac{90}{5}$

$d=18$

On peut calculer les termes :

$a_{3}=24+2\times18=60$

$a_{5}=24+4\times 18=96$

On peut écrire la progression:

$24,42,60,78,96,114$

Progressions Géométriques:

Dans les progressions géométriques, chque terme se calcule en multipliant le terme précédent par un nombre constant appelé RAISON $r$ .

On note:

$a_{n}=r \cdot a_{n-1}$

La raison

$r=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$

Ici aussi on peut trouver le $nième$ terme.

$a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}$ avec $n$ tout entier positif.

Soit:

$2,8,32,128,\cdots$

Trouver une Equation de $a_{n}$

Solution:

$r=\frac{8}{2}=\frac{128}{32}=4$

Equation:

$a_{n}=2\times 4^{n-1}$

Soit:

$405,135,45, \cdots$

Trouver les deux termes qui suivent.

Solution

$r=\frac{45}{135}=\frac{1}{3}$

Les deux termes sont:

$45\times \frac{1}{3}=15$

$15\times \frac{1}{3}=5$

Maintenant nous avons:

$405,135,45, 15,5 \cdots$

Moyennes géométriques

Les moyennes géométriques s tout simplement les termes compris entre deux termes non consécutifs d’une progression géométriques.

Séries géométriques

C’est la somme des termes d’une progression géométrique.

$S_{n}=a_{1}+a_{1}r+a_{1}r^{2}+a_{1}r^{3}+ \cdots +a_{1}r^{n-1}$

$rS_{n}=a_{1}r+a_{1}r^{2}+a_{1}r^{3}+ \cdots +a_{1}r^{n-1}+a_{1}r^{n}$

On soustrait

$(1-r)S_{n}=a_{1}-a_{1}r^{n}$ Tout le reste s’ennule

Finalement on écrit: Pour $n$ termes: Avec une raison $r\neq 1$

$S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$

Calculer:

$\sum_{n=1}^{6}5\cdot 2^{n-1}$

ILe premier terme est de

$a_{1}=5$

$a_{6}=160$

$r=2$

$S_{6}=\frac{5(1-2^{6})}{1-2}=315$

Question:

Trouver le premier terme d’une série géométrique ayant $S_6=2548$ avec une raison de 3.

Solution:

$S_{6}=\frac{a_{1}(1-r^{6})}{1-r}$

$S_{6}=\frac{a_{1}(1-3^{6})}{1-3}$

$2548=\frac{a_{1}(1-3^{6})}{1-3}$

$2548\times (-2)=a_{1}(-728)$

$a_{1}=\frac{2548\times (-2)}{-728}$

$a_{1}=7$

Séries géométriques Infinies

Ce sont des Séries géométriques de la forme:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+ \cdots$

On ne peut avoir que des somme partielles.

Cependant, lorsque $-1<r<1$ ,avec $n$ devenant infiniment grand:

$S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a_{1}}{1-r}-\frac{a_{1}r^{n}}{1-r}$

Le second terme se rapproche de $0$ et admet $0$ comme limite quand $n$ tend vers $\infty$

La formule finale:

$S_{n}=\frac{a_{1}}{1-r}$

Avec $-1<r<1$

Soit:

$Z=\sum_{n=1}^{\infty}24(-\frac{1}{5})^{n-1}$

Trouver $Z$ :

On voit que:

$a_{1}=24$

$r=-\frac{1}{5}$

$Z=\frac{24}{1-(-\frac{1}{5})}$

Finalement: $Z=20$

Certaines Séries alternent et ne convergent jamais.

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Progressions et series

Progressions et suites

La notation de Factoriel:

Propriétés des suites:

Quelques suites et progressions:

Progressions arithmétiques:

Séries Arithmétiques:

Progressions Géométriques:

Moyennes géométriques

Séries géométriques

Séries géométriques Infinies

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