Aires du cercle et du triangle

Périmètre d’un triangle:

The périmètre d’un triangle est la somme de ses trois côtés.

Sur la figure qui suit nous avons:

$P=a+b+c$ est le $perimètre$ du triangle.

Nous avons utilisé le demi-périmètre du triangle quand nous avons démontré le caclcul de l’aire du triangle par la formule de Heron.

C’est simplement $s=\frac{a+b+c}{2}$

L’élève apprend à calculer les périmètres pour trouver la solution à d’autres problèmes concernant le prix de construction des pourtours par exemple.

Exemple:

Un lieu a une forme triagulaire. Les trois côtés ont pour mesure 250ft, 185ft et 215 ft. Un matériel coûtant 7 dollars par pied linéaire sera utilisé pour la réalisation d’une concession autour du lieu, laissant une entrée de 5 pieds. La compagnie de construction charge 6 dollarspar pied linéaire de réalissation. Calculer le coût total.

Solution:

The périmètre du triangle:

$p=250+185+215=650$

Cependant, l’entrée de 5 pieds ne fera pas partie.

Nous avons:

$Pourtour=650-5=645 pieds$

Coût par pied:

$Coût=7+6=13$

Coût totalpour la construction:

$Total=13 \times 645=8385$ dollars.

Aire d’un triangle:

L’aire d’un triangle peut se calculer en utilisant les méthodes qui dépendent de l’information sous la main.

Pour un triangle quelconque:

-En prenant toute altitude (comme hauteur, h) et son côté opposé (comme base, b).

L’aire est de

$A=\frac{b\times h}{2}$

On peut aussi écrire:

$A=\frac{1}{2}bh$

Pour un triangle isoscèle, si nous avons les 3 côtés a,a et b

Nous pouvons calculer $h$

$h^2=a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}$

En fin:

$h=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-b^2}$

Et l’aire du triangle:

$A=\frac{1}{4}b\sqrt{4a^2-b^2}$

Si nous utilisons la formule de Héron, nous trouvons la même formule.

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c}$

Dans notre cas $b=a$ and $c=b$

Cela signifie $s=\frac{1}{2}(2a+b)$

$s-a=\frac{1}{2}(2a+b-2a)=\frac{1}{2}(b)$

$s-b=s-a=\frac{1}{2}(2a+b-2a)=\frac{1}{2}(b)$

$s-c=s-b=\frac{1}{2}(2a+b-2b)=\frac{1}{2}(2a-b)$

Nous avons la formule suivante:

$A=\sqrt{(\frac{2a+b}{2})(\frac{b}{2})(\frac{b}{2})(\frac{2a-b}{2})}$

$A=\sqrt{(\frac{b^2}{4})(\frac{4a^2-b^2}{4}})$

Enfin:

$A=\frac{1}{4}b\sqrt{4a^2-b^2}$

Triangles isoscèles particulier et triangle rectangle:

Dans cette situation nous avons :

$h=\frac{1}{2}b$

Avant de nous enfoncer, on peut remarquer que chaque côté du triangle rectangle, sauf l’hypoténuse, peut être considérer comme base (a) ou hauteur (a).

Nous avons:

$A=\frac{1}{2}a\times a$

$A=\frac{1}{2}a^2$

Utilisant b:

$A=\frac{b^2}{4}$

Triangle équilateral

Nous avons la formule normale:

$A=\frac{1}{2}bh$

$h^2=a^2-\frac{a^2}{4}$

$h^2=\frac{1}{4}(4a^2-a^2)$

$h^2=\frac{1}{4}(3a^2)$

$h=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Maintenat pour l’aire du triangle, $b=a$

$A=\frac{1}{2}(a)(\frac{\sqrt{3}a}{2})$

En Fin:

$A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Aire du triangle par les angles:

Nous voyons que:

$Aire=\frac{1}{2}ch$

$\sin(A)=\frac{h}{b}$

Alors: $h=b\sin(A)$

L’aire:

$Aire=\frac{1}{2}bc\sin(A)$

Nous pouvons trouver les trois relations suivantes:

$Area=\frac{1}{2}bc\sin(A)$

$Area=\frac{1}{2}ac\sin(B)$

$Area=\frac{1}{2}ab\sin(C)$

Circonférence d’un cercle

La circonférence $C$ d’un cercle est de:

$C=2\pi r$

Où $r$ est le rayon du cercle.

Comme le diamètre $D=2r$ ,

Nous avons:

$C=D\times\pi$

L’aire et la circonférence des figures circulaires peuvent se calculer sans remplacer $\pi$ par sa valeur. Cela signifie en termes de $\pi$ .

Longueur d’un arc:

La longueur de l’arc d’un cercle est lié à l’angle central $\alpha$ qui l’a intercepté.

Si $\alpha$ est en $radians$ , nous avons:

$m\stackrel\frown{AB}=\alpha r$

Pour un angle en $degrés$ , nous utilisons la proportion de la circonférence:

La longueur du $m\stackrel\frown{AB}=\frac{\alpha^{\circ}}{360}2\pi r$

Ceci est la même chose que:

$m\stackrel\frown{AB}=\frac{\alpha^{\circ}}{180}\pi r$

Aire d’un cercle de rayon r:

Si $r$ est le rayon d’un cercle, l’ $Aire$ est de:

$Area=\pi r^{2}$

La formule est largement utilisée dans toutes les branches de mathématiques.

Aire d’un Secteur AOB d’un cercle:

Si $r$ est le rayon d’un cercle, $\alpha$ l’angle central (ou l’arc intercepté) en $radians$ , l’ $Aire$ du $Secteur \; AOB$ est de:

$Aire\; AOB=\frac{\alpha}{2\pi}\pi r^2$

Nous simplifions et nous avons:

$Aire\; AOB=\frac{\alpha}{2}r^2$

Si $\alpha$ l’angle central (ou l’arc intercepté) est en $degrés$ :

$Aire\; AOB=\frac{\alpha^{\circ}}{360}\pi r^2$

Une simple conversion de $\alpha$ en radians. $\alpha (rad)=\frac{\alpha^{\circ}\pi}{180}$

Aire d’un segment circulaire

Peut se trouver de deux manières:

-Aire du secteur moins l’aire du triangle isoscèles $AOB$

-En calculant la formule.

Le bissecteur de l’angle central bissecte la corde AB au point D.

Nous avons

$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{AD}{OA}$

Mais $OA=r$

$AD=r\sin\frac{\alpha}{2}$

OD est l’altitude:

$OD=h$

$h^2=r^2-(AD)^2$

$h^2=r^2-r^2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$

$h=\sqrt{r^2-r^2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}$

$h=r\sqrt{1-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}$

Mais nous savons que:

$1-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\cos^{2}\frac{\alpha}{2}$

Ce qui donne:

$h=r\cos\frac{\alpha}{2}$

Laire du triangle $\triangle AOB$ est de:

$Aire\;\triangle AOB=AD \cdot h$

Nous remplaçons:

$Aire\;\triangle AOB=r\sin\frac{\alpha}{2}\cdot r\cos\frac{\alpha}{2}$

En fin:

$Aire\;\triangle AOB=\frac{1}{2}r^2\sin\alpha$

Pour le secteur AOB:

$Aire\;Sector\; AOB=\frac{\alpha}{2}r^2$

Nous faisons la soustraction pour trouver l’aire du segment:

$Aire\; Segment=\frac{1}{2}\alpha r^2-\frac{1}{2}r^2\sin\alpha$

$Aire\; Segment=\frac{1}{2}r^2 \left(\alpha-\sin\alpha \right)$

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Aires du cercle et du triangle

Aires du cercle et du triangle

Périmètre d’un triangle:

Aire d’un triangle:

Triangles isoscèles particulier et triangle rectangle:

Triangle équilateral

Aire du triangle par les angles:

Circonférence d’un cercle

Longueur d’un arc:

Aire d’un cercle de rayon r:

Aire d’un Secteur AOB d’un cercle:

Aire d’un segment circulaire

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